局所化と剰余の可換 - 空気になりたい凡人の日常

松村読んでて？？てなったところ。空気になりたい凡人です。

松村英之著「可換環論」のとある定理が局所化と剰余を取る操作の可換性だ。

ここの証明で局所化の普遍性からわかることがさらって書かれているが、私は誘導写像で準同型定理でいいのではと思った。

具体的には,

$R$ :環, $S \subset R$ :積閉集合, $I \subset R$ :イデアルとして自然な準同型 $\pi:R \rightarrow R/I$ から誘導される $\pi_{S}:R_{S} \rightarrow (R/I)_{\overline{S}}$ ( $\overline{S}$ は $\pi$ による $S$ の像)とする.

$\pi_{S}$ が全射な環準同型で, $\mathrm{Ker}(\pi_{S})=IA_{S}$ から準同型定理より $A_{S}/IA_{S} \cong (A/I)_{\overline{S}}$ が得られる.

これでいいと思うけど関手的に示したいからああ書いているのかな？

現場からは以上です。