必ず、かの理不尽な参考書どもを除かねばならぬと決意した。
空気になりたい凡人です。（初めて2行になってしまった、うぅ）
なんとまぁびっくりすることに多くの有名な書籍で同じミスを見つけてしまった。その概念の話が位相系なので、代数系の人々は扱いたくないのか言語的にあいまいな表現ばかりしたせいで位相加群なのか、そういう位相を持つ加群（つまり演算は連続とは限らない。）の差が不明量になっている。英語だと「topological R-module」と「topoloziged R-module」でしっかり分けられてるのでそんな誤解は起こらない。
確かに、I進位相の場合は位相加群にできるのですが、一般の線形位相だけだとどうやってもうまくいかないので少し考えるとメチャクチャ単純な反例を見つけてしまうと言うね。
（詳しく言うと作用の連続性が破れる。）
反例 Z係数の2次式からなるZ加群Kの次数1,0の部分加群K_1,K_2でfiltrationを作ってZの方では(2^n)Zでfiltrationを取る。このとき、3X^2+K_1は3X^2の近傍になっている。(3+(2^m)Z)(X^2+K_1)⊆3X^2+K_1となるようなmを見つければ作用として問題ないのだが、
(3+(2^m)Z)(X^2+K_1)=2X^2+3K_1+(2^m)ZX^2+(2^m)ZK_1⊆2X^2+K_1+(2^m)ZX^2
となって(2^m)ZX^2の項が次数の関係でK_1に収めることができない。よって、このようなmが存在しない。つまり、不連続である。
時間返せ！ふざけんなよ！こんなん本がちゃんと明確にしないとあかん奴やろ。おまけに、そのあとに線形写像が連続とか言っちゃってるけど、これ位相加群としてじゃなくて純粋に位相空間としてでしょ。これは果たして行間を読めと言うたぐいの話なのか？ただの怠慢では？
ふぅ、思ったこと書いたらすっきりした。数学を取り組む方は常に嘘かもしれないと思って読んだ方がいいですよ。特に微積・線形代数以外の大学数学は検証が不十分だったり、理不尽なしきたり（明らかに多すぎる行間読めとか）があったりするので。
現場からは以上です。
